Cut Iswahyuni: Komputer Grafik

KOMPUTER GRAFIK

TRANSFORMASI

Kelompok

Nama : Iswahyuni (1111706)

Kelas : TI - P1101

Dosen : Sinar Sinurat, ST, M.Kom

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER

STMIK BUDIDARMA

MEDAN

T.A 2012/2013

DAFTAR ISI

Daftar Isi………………………………………………………………….. 1

TRANSFORMASI...…………………………………………………...…. 2

1. Transformasi ….………………………..…………….…..….… 2

· Translation ( Pergeseran ) …………………………..…. 2

· Strecthing ( Pelebaran )………………………………… 4

· Scaling ( Pengukuran )…………………………………. 4

· Rotation ( Pemutaran )……….………………………… 5

2. Matrik Transformasi………………………..………..…...……. 7

3. Komposisi Transformasi…………………………...……...…… 8

· Komposisi Dua Translasi Berurutan.......................... 9

· Komposisi Dua Refleksi Berurutan........................... 9

· Rotasi Berurutan Yang Sepusat................................. 10

4. Bayangan Suatu Kurva/Bangun Oleh Dua Transformasi/Lebih.. 10

5. Luas Bangun Hasil Tranformasi……………………………….. 11

6. Transformasi Gambar…………………………………………...11

7. Komposisi Transformasi Dengan Matriks…………………...… 11

DAFTAR PUSTAKA................................................................................... 14

TRANSFORMASI

1. Transformasi

Transformasi merupakan suatu metode untuk mengubah lokasi suatu titik pembentuk objek, sehingga objek tersebut mengalami perubahan. Perubahan objek dengan mengubah koordinat dan ukuran suatu objek disebut dengan transformasi geometri. Komputer merupakan salah satu transformator yang cukup ideal. Pada grafik komputer kemungkinan untuk mengubah bentuk atau penampilan dari suatu objek sangat luas bahkan untuk mengganti objek itu sendiri secara permanan.

Transformasi diperlukan untuk mengubah ( transform ) posisi suatu objek dari tempat asal ke posisi elemen grafik, transformasi juga diperlukan untuk memutarkan posisi suatu objek pada titik pusat, mengubah ukuran objek dan menarik sebagian objek sehingga tampak terdistorsi.

Bentuk-bentuk transformasi tersebut secara umum adalah sebagai berikut :

· Translation ( Pergeseran )

· Strecthing ( Pelebaran )

· Scaling ( Pengukuran )

· Rotation ( Pemutaran )

A. Translation (Pergeseran)

Translasi adalah suatu pergerakan atau perpindahan semua titik dari objek pada suatu jalur lurus sehingga menempati posisi baru. Jalur yang direpresentasikan oleh vektor disebut Translasi atau Vektor Geser.

Translasi dilakukan dengan penambahan translasi pada suatu titik koordinat dengan translation vector atau shift vektor, yaitu (dx, dy). Koordinat baru titik yang ditranslasi dapat diperoleh dengan menggunakan rumus :

Contoh:

Komposisi Transformasi

T₁ dilanjutkan T₂ (T₂◦T₁) adalah T=T₂ . T₁

T₂ dilanjutkan T₁ (T₁◦T₂) adalah T=T₁ . T₂

Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi.

Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L'=k² +L

Transformasi Gambar

Berikut ini adalah Translasi atau perpindahan obyek dari titik P ke titik P’ secara linier.

Contoh:

Diketahui titik-titik pembentuk objek segitiga yaiu A(10,10), B(30,10), C(10,30) dengan transformasi vector (10,20) lakukan trnslasi terhadap objek segitiga tersebut:

Titik A

x’A = xA + tx y’A = yA + ty

= 10 + 10 = 10 + 20

= 20 = 30

A’(20,30)

Titik B

x’B = xB + tx y’B = yB + ty

= 30 + 10 = 10 + 10

= 40 = 20

B’(40,20)

Titik C

x’C = xC + tx y’C = yC + ty

= 10 + 10 = 30 + 20

= 20 = 50

B. Strecthing ( Pelebaran )

Prinsip dasar strecthing sama seperti translasi hanya pada stretching pergeseran hanya pada satu titik tertentu hingga objek bertambah besar atau bertambah kecil pada titik koordinat yang ditentukan.

C. Scaling ( Pengukuran )

Scaling adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dimana jarak titik P’ adalah m kali titik P

Transformasi skala adalah perubahan ukuran suatu objek. Koordinat baru diperoleh dengan melakukan perkalian koordinat dengan scaling faktor, yaitu(mx, my) dimana mx adalah scaling faktor untuk sumbu x dam my adalah scaling faktor untuk sumbu y. koordinat baru titik yang diskala dapat diperoleh dengan:

Scaling faktor mx dan my dapat diberikan nilai sembarang. Nilai lebih dari satu menandakan bahwa obyek diperbesar, sedangkan nilai kurang dari satu menunjukkan bahwa obyek diperkecil.

Berikut ini adalah Translasi atau perpindahan obyek dari titik P ke titik P’.

Contoh :

Diketahui objek segitiga dengan titik A(10,10), B(30,10), C(10,30) di skala denganscaling factor (3,2).

Titik A

x’A = xA * tx y’A = yA * ty

= 10 * 3 = 10 * 2

= 30 = 20

A’(30,20)

Titik B

x’B = xB * tx y’B = yB * ty

= 30 * 3 = 10 * 2

= 90 = 20

B’(90,20)

Titik C

x’C = xC * tx y’C = yC * ty

= 10 * 3 = 30 * 2

= 30 = 60

C’(30,60)

D. Rotation ( Pemutaran )

Rotasi dua dimensi memindahkan sebuah objek menurut garis melingkar. Untuk melakukan rotasi diperlukan sudut rotasi q dan pivot point (xp,yp). Nilai positif dari sudut rotasi menentukan arah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam. Sedangkan sudut rotasi negative memutar objek searah dengan jarum jam. Rumus transformasi untuk rotasi suatu titik(x,y) dengan sudut rotasi q sebagai berikut:

Berikut rotasi atau perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, yang berupa pemindahan berputar sebesar sudut q.

Diketahui titik-titik pembentuk objek segitiga yaiu A(10,10), B(30,10), C(10,30) dengan sudut rotasi 300 terhadap titik pusat koordinat cartesian (10,10).

Titik A

X’A = Xp + (XA – Xp)Cos 300 – (YA- YP)Sin 300

= 10 + (10 -10) * 0.9 – (10-10) * 0.5

= 10

Y’A = YP + (XA – XP)Sin 300 + (YA – YP)Cos 300

= 10 + (10 – 10) * 0.5 + (10 – 10) * 0.9

= 10

A’(10,10)

Titik B

X’B = Xp + (XA – Xp)Cos 300 – (YA- YP)Sin 300

= 10 + (30 -10) * 0.9 – (10-10) * 0.5

= 28

Y’B = YP + (XA – XP)Sin 300 + (YA – YP)Cos 300

= 10 + (30 – 10) * 0.5 + (10 – 10) * 0.9

= 20

B’(28,20)

Titik C

X’C = Xp + (XA – Xp)Cos 300 – (YA- YP)Sin 300

= 10 + (10 -10) * 0.9 – (30-10) * 0.5

= 0

Y’C = YP + (XA – XP)Sin 300 + (YA – YP)Cos 300

= 10 + (10 – 10) * 0.5 + (30 – 10) * 0.9

= 28

C’(0,28)

2. Matrik Transformasi

Matrik transformasi adalah matrik yang membuat sebuah obyek mengalami perubahan baik berupa perubahan posisi, maupun perubahan ukuran.

Matrik transformasi 2D dinyatakan dalam ukuran 3x3, dimana kolom ke-3 digunakan untuk menyediakan tempat untuk proses translasi.

Objek yang akan digambar pada layar biasanya memiliki ukuran yang jauh lebih besar dibanding ukuran layar, sehingga perlu dilakukan pemetaan/transformasi yang memungkinkan objek tersebut bisa digambar pada layar. Meskipun demikian, objek seringkali terlalu rumit untuk ditampilkan pada layar dengan koordinat yang sangat terbatas. Sehingga biasanya kita memilih bagian tertentu dari objek untuk ditampilkan pada layar. Didalam memilih objek yang akan ditampilkan biasanya dibatasi oleh sebuah kotak yang disebut dengan jendela (window).

Dalam praktek kita bisa menggunakan seluruh atau sebagian lebar layar untuk menmpilkan objek yang berada pada sebuah jendela. Daerah layar yang dipilih untuk menampilkan objek yang dimaksud disebut viewport. Dalam keadaan normal, viewport akan meliputi seluruh layar lebar. Meskipun demikian, kita bisa memilih bagian tertentu dari layar untuk dijadikan sebuah viewport.

Komposisi transformasi adalah menggabungkan beberapa tranformasi, sehingga dapat menghasilkan bentuk transformasi yang lebih kompleks.

Diketahui transformasi

maka transformasi tunggal dari transformasi:

Catatan T₁ . T₂ = T₂ . T₁

Komposisi tranformasi dapat dilakukan dengan mengalikan matrik-matrik transformasi.

Berikut contoh komposisi transformasi yang dinyatakan dengan Rotasi(q) dan Translasi(d,0)

Berikut komposisi transformasi dinyatakan dengan : Translasi(d,0) dan Rotasi(q).

Ø Komposisi Dua Translasi Berurutan

Diketahui dua translasi

dan

. Jika translasi

dilanjutkan translasi

maka dinotasikan ”

” dan translasi tunggalnya adalah T=T₁+T₂=T₂+T₁(sifat komutatif).

Ø Komposisi Dua Refleksi Berurutan

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b. Maka bayangan akhir A adalah

yaitu:

x'=2(b-a)+x

y'=y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkan terhadap garis y=b. Maka bayangan akhir A adalah

yaitu:

x'=x

y'=2(b-a)+y

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah

sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan sudut putar 180˚

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka bayangan akhirnya adalah

dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar 2α(α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

Catatan :

d. sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus).\

Ø Rotasi Berurutan Yang Sepusat

· Diketahui rotasi R₁(P(a,b),α) dan R₂(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R₁ dilanjutkan R₂ adalah rotasi R(P(a,b),α+β)

· Rotasi R₁dilanjutkan R₂ sama dengan rotasi R₂dilanjutkan R₁

4. Bayangan Suatu Kurva/Bangun Oleh Dua Transformasi Atau Lebih

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x dilanjutkan translasi

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

P'(y,x) ditranslasi

. Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

Jadi x'' = y +3 → y = x''-3

y'' = x +2 → x = y'' -2

persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5

x'' - 4y''= 0

jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

5. Luas Bangun Hasil Tranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:

Pada rotasi, kita menginputkan terlebih dahulu besar sudut rotasi atau perputaran yang diinginkan kemudian mengisikan posisi x1, y1, x2, y2, kita hanya menginputkan nilai x1, y1, x2, y2 yang merupakan posisi awal, kemudian kita memasukkan nilai perbesaran atau pengecilannya, dimana nilai lebih dari satu adalah perbesaran dan kurang dari satu adalah pengecilan.

Pada translasi atau pergeseran, kita tentukan dulu posisi benda yang akan di geser, misalnya ada di x1, y1, x2, y2 kemudian kita tentukan besarnya pergeseran dari masing – masing titik atau kita bisa langsung keseluruhan menggeser keseluruhan gambar dengan memberi nilai yang sama pada sumbu koordinat.

7. Komposisi Transformasi Dengan Matriks

Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri